數(shù)學(xué)之美的讀書(shū)筆記中學(xué)生必看
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數(shù)學(xué)之美的讀書(shū)筆記中學(xué)生必看五篇
《數(shù)學(xué)之美》事實(shí)上不能帶給你編程能力的提升，也沒(méi)法讓人的數(shù)學(xué)水平有顯著的提升，但它在很大程度上讓你跳出教科書(shū)式的繁瑣細(xì)節(jié)的束縛，小編在這里給大家?guī)?lái)數(shù)學(xué)之美的讀書(shū)筆記中學(xué)生必看五篇，希望大家喜歡!
數(shù)學(xué)之美的讀書(shū)筆記中學(xué)生必看1
數(shù)學(xué)用在模型上而不是現(xiàn)實(shí)世界中，需要抽象思考出模型，即數(shù)學(xué)對(duì)象是其所做。數(shù)系擴(kuò)充中，復(fù)數(shù)i并沒(méi)有比無(wú)理數(shù)根號(hào)2更特殊的地方，因?yàn)樗鼈冏鳛槌橄蟮臄?shù)學(xué)構(gòu)造，如果充分自然，則必能作為模型找到它們的用途。實(shí)際上正是如此。
數(shù)學(xué)中有個(gè)根本性的重要事實(shí)：數(shù)學(xué)論證中的每一步都可以不斷地分解成更小更清晰有據(jù)的子步驟，但是這樣的過(guò)程最終會(huì)終止。原則上，最終會(huì)得到一條非常長(zhǎng)的論證，它以普遍接受的公理開(kāi)始，僅通過(guò)最基本的邏輯原則一步步推進(jìn)，最終得到想要求證的結(jié)論。所以，任何關(guān)于數(shù)學(xué)證明有效性的爭(zhēng)論總是能夠解決的。爭(zhēng)論在原則上必然能夠解決這一事實(shí)使數(shù)學(xué)作為一個(gè)學(xué)科是獨(dú)一無(wú)二的。在這里，公理系統(tǒng)的主要問(wèn)題不是真實(shí)性，而是自洽性和有用性，即數(shù)學(xué)證明就是由特定前提能夠得出特定結(jié)論，而不考慮該前提是否正確。數(shù)學(xué)歸納法原理正是使用了這一“根本性的重要事實(shí)”：假設(shè)關(guān)于任意正整數(shù)n有一陳述s(n)，如果s(1)為真，且s(n)為真總蘊(yùn)含s(n+1)為真，那么s(n)對(duì)任意n都為真。
我不清楚這一“根本性的重要事實(shí)”在現(xiàn)實(shí)中的使用范圍有多大，但由此可以聊一點(diǎn)別的問(wèn)題?，F(xiàn)實(shí)中，如果甲對(duì)事情有A觀點(diǎn)(或說(shuō)價(jià)值觀)，乙有B觀點(diǎn)，并為此爭(zhēng)執(zhí)。有下面幾種情況：1，在上述的范圍之外，即沒(méi)有定論。2，有定論，但是雙方都沒(méi)有給出足夠的證據(jù)證明和反駁。3，有定論，一方給出了足夠的證據(jù)(或者反駁理由)，因?yàn)楸磉_(dá)能力導(dǎo)致表述不清晰而沒(méi)有說(shuō)服對(duì)方。4，有定論，一方給出了足夠的證據(jù)(或者反駁理由)，因?yàn)閷?duì)方理解不夠或理解偏差導(dǎo)致沒(méi)有被說(shuō)服。第234條與這幾項(xiàng)有關(guān)：知識(shí)量，表達(dá)能力，理解能力，對(duì)外界的認(rèn)知和自我認(rèn)知。其中語(yǔ)言本身的局限性會(huì)一定程度上影響表達(dá)和理解，認(rèn)知能力是一項(xiàng)綜合的要求很高的能力。“評(píng)論”這件事就是個(gè)很合適的例子。如果說(shuō)創(chuàng)造更需要的是才氣，那么評(píng)論更需要的就是能力。但是，無(wú)論雙方是否知道有無(wú)定論，很多情況下需要陳述不少或很多證據(jù)或反駁理由，由第234條可知人與人交流的效率很低，并且可能伴隨一些沖突。若考慮到一些人的利益因素等，交流會(huì)更復(fù)雜。
數(shù)學(xué)之美的讀書(shū)筆記中學(xué)生必看2
近來(lái)，我通過(guò)中國(guó)大學(xué)MOOC的慕課《數(shù)學(xué)建模》獲悉一部叫《牛津通識(shí)讀本》的新出版科普系列。同時(shí)購(gòu)入的有六本——《數(shù)學(xué)》《法律》《佛學(xué)概論》等。由于告知該書(shū)的慕課是數(shù)學(xué)課，我首先閱讀的是《數(shù)學(xué)》。
令我意外的是，本系列的書(shū)每本篇幅都短小精悍得讓人愉悅(英文類書(shū)系列名就叫A Very Short Introduction)。就這本16開(kāi)大小的《數(shù)學(xué)》中，有實(shí)際內(nèi)容的只100頁(yè)左右，剩下的有數(shù)十多頁(yè)附注/答疑，與及100多頁(yè)的英文原稿(原書(shū)作者高爾斯是英國(guó)學(xué)者)。本書(shū)內(nèi)容質(zhì)量非常高，并未使『西方當(dāng)代學(xué)科科普』這個(gè)標(biāo)簽失色。再考慮到其篇幅如此短小，看來(lái)，以后為非理工科班出身的青年們推薦數(shù)學(xué)科普書(shū)，就不必只記得伊恩·斯圖爾特與馬丁·加德納了。
雖然這是數(shù)學(xué)科普，但作者可深知讀者心。西方作者所著的數(shù)學(xué)科普，一向都很能熟練地脫公式脫符號(hào)講問(wèn)題。與同類書(shū)籍比較之下，本書(shū)還有個(gè)小小的特點(diǎn)：其章節(jié)敘述順序，既不硬從數(shù)學(xué)史(人類認(rèn)知史)的流程，也不完全順應(yīng)個(gè)體認(rèn)知心理學(xué)(教育學(xué))的順序。開(kāi)篇破題他選的議題是『數(shù)學(xué)模型』，非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生最能適應(yīng)的一種破題點(diǎn);然后第二章緊緊承接主題『模型化』，開(kāi)談『抽象化』。這個(gè)過(guò)程的敘述行云流水。我感覺(jué)作者很懂怎樣說(shuō)該說(shuō)的、省去不必說(shuō)的、跳過(guò)不能說(shuō)的。
第二章《數(shù)與抽象》中，作者在引入復(fù)數(shù)時(shí)，首先不能免俗地做了其他科普書(shū)差不多的工作：-1的開(kāi)平方根是復(fù)數(shù)的定義blabla;然后，他將議題轉(zhuǎn)入更接近上游本質(zhì)的、但也許常人可能也會(huì)想過(guò)的問(wèn)題：形式與實(shí)在的關(guān)系。
不是說(shuō)『-1的開(kāi)平方根』是復(fù)數(shù)單位i嗎?但似乎有兩個(gè)數(shù)的平方等于-1啊(也即i與-i)，到底哪個(gè)才是正宗的『復(fù)數(shù)單位』?如果說(shuō)i是嘛，那么憑什么-i不是?給我講清楚啊——對(duì)吧?我猜，每個(gè)人在其漫長(zhǎng)的人生中，都曾經(jīng)想問(wèn)過(guò)這類問(wèn)題吧：『為嘛數(shù)變量用abc、角變量用αβγ』『為嘛求導(dǎo)符用的是一個(gè)點(diǎn)』『為嘛積分符像條蛇』『為嘛積分式里有個(gè)d』諸如此類。這些問(wèn)題并不無(wú)聊也不白癡，只是常人很難給出有意義的回答而已;它們中的每個(gè)往往都蘊(yùn)含著16世紀(jì)數(shù)學(xué)大師們的智慧精華。當(dāng)然，本書(shū)沒(méi)有解答所有這類奇離古怪的問(wèn)題(這不是《十萬(wàn)個(gè)為什么》)。在本書(shū)里，作者做的是教授課間做的那種事——隨便跟好奇的學(xué)生聊聊天，證明過(guò)程少說(shuō)了個(gè)『在這個(gè)條件下』待會(huì)再補(bǔ)上。上面提到的『i與-i哪個(gè)才是復(fù)數(shù)單位』這個(gè)議題，這段簡(jiǎn)短的討論，同時(shí)也扮演了下一章《證明》的引子這個(gè)角色。
進(jìn)度到第三章《證明》結(jié)束之后，對(duì)讀者而言，或許就只剩一個(gè)小時(shí)的閱讀時(shí)間而已了。后面的章節(jié)，議題越來(lái)越抽象(空間、維度、距離、無(wú)窮等)，正要抵達(dá)最有趣的部分(集合論)時(shí)，突然話鋒一轉(zhuǎn)，談起了與抽象幾乎相對(duì)的另一端：計(jì)算理論與數(shù)論;然后，本書(shū)的主體竟在此突然收官?？磥?lái)，作者多多少少還保持了清醒，未過(guò)度狂熱，未打算將每個(gè)有趣的命題都灌到讀者腦里。在我看來(lái)，那種『X貓X氣三千問(wèn)』的大雜燴式科普其實(shí)是很不人道的。大家和我一樣都讀過(guò)一遍又一遍的七橋問(wèn)題與雪花曲線，沒(méi)必要再來(lái)一次了。這些老生常談的話題，在本書(shū)里各只占了一頁(yè)的篇幅。太好了。
數(shù)學(xué)之美的讀書(shū)筆記中學(xué)生必看3
書(shū)名說(shuō)，這是一本數(shù)學(xué)的通識(shí)。
但是讀起來(lái)還是比較吃力。比如，維度這一章。按以前的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，一二三維接觸的最多。高維基本沒(méi)接觸過(guò)，所以理解比較吃力?？雌饋?lái)是把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題，可就是云里霧里。書(shū)中提到的高維空間圖像化，說(shuō)四維立方體就是兩個(gè)三維的立方體對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)相連。但又說(shuō)它的形狀是不能想象出來(lái)的。
不過(guò)不能因?yàn)榭吹某粤头穸ㄟ@本書(shū)。如果過(guò)于簡(jiǎn)單的一本書(shū)，就不存在什么價(jià)值了。在本書(shū)中，你看不到過(guò)多的術(shù)語(yǔ)、公式。作者盡量在把內(nèi)容簡(jiǎn)單化、通俗化。很多證明的例子，沒(méi)有公式，只要是有一定的理解能力，都能看明白。
這本書(shū)到底稱不稱得上數(shù)學(xué)的通識(shí)?
對(duì)我來(lái)說(shuō)算。因?yàn)樗蚱屏宋覍?duì)數(shù)學(xué)的一些偏見(jiàn)，讓我重新認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)。比如，我們覺(jué)得數(shù)學(xué)是一門精確的學(xué)科。因?yàn)槔锩嬗泻芏喙剑芏嗟臄?shù)字。我們學(xué)生時(shí)代解題，錯(cuò)一個(gè)數(shù)字或?qū)戝e(cuò)個(gè)公式要扣分的。正是這些造成了我們的偏見(jiàn)。作者卻說(shuō)說(shuō)，對(duì)于很多問(wèn)題來(lái)說(shuō)，能找到精確的公式簡(jiǎn)直出人意料，如同奇跡一般。多數(shù)情況下，我們不得不滿足于大致的估計(jì)。而正是這些大致的估計(jì)，解決了很多的數(shù)學(xué)問(wèn)題，比如素?cái)?shù)定理、排序算法等等都是通過(guò)近似得來(lái)的。就連數(shù)學(xué)模型也是，它并不代表真正的現(xiàn)實(shí)世界，只是一個(gè)近似的代表和反映。我不經(jīng)覺(jué)得數(shù)學(xué)原來(lái)也可以這樣玩。
書(shū)中常提的一個(gè)觀點(diǎn)是：對(duì)于數(shù)學(xué)，不要問(wèn)它是什么，而只要問(wèn)它能做什么。也就是作者要傳達(dá)的信息：學(xué)習(xí)抽象思考。維基百科上抽象化的定義是縮減一個(gè)概念或者資訊含量來(lái)將其一般化，主要是為了只保存和一定目的有關(guān)的資訊。比如，為了研究球的自由落體運(yùn)動(dòng)，把球抽象化成一個(gè)點(diǎn)。保留這個(gè)點(diǎn)有速度，有重量的特性。而把它的形狀模糊了。抽象化思考就是為了降低復(fù)雜性，回歸本質(zhì)。
本書(shū)前三章是數(shù)學(xué)的一般性，后幾章是討論一些具體的課題。
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最喜歡和認(rèn)同書(shū)中的一句話：我們應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)抽象地思考，因?yàn)橥ㄟ^(guò)抽象地思考，許多哲學(xué)上的困難就能輕易地消除。事實(shí)上，作者在書(shū)中介紹的現(xiàn)代數(shù)學(xué)諸多概念與邏輯，都無(wú)一例外的向我們展示數(shù)學(xué)是認(rèn)知世界的抽象思維方法，而不是簡(jiǎn)單的一種學(xué)術(shù)，更不是解題。
長(zhǎng)時(shí)間以來(lái)，我都對(duì)自己沒(méi)有去數(shù)學(xué)系或物理系耿耿于懷，巧合的是我弟弟上的卻是數(shù)學(xué)系，然而他卻不喜歡。雖然也是一個(gè)典型的理科，我卻似乎從沒(méi)有那么真正愛(ài)上我曾經(jīng)的專業(yè)，因?yàn)樵谖铱磥?lái)，聰明或智慧分為兩種類型：第一個(gè)類型是創(chuàng)造能力或者創(chuàng)新能力，第二個(gè)類型是邏輯能力或認(rèn)知能力。這完全是兩個(gè)方面，并且對(duì)于絕大多數(shù)常人來(lái)說(shuō)，很難同時(shí)兩者兼?zhèn)?。不僅如此，兩者還往往是矛盾的，具備其一的，往往另一點(diǎn)比較弱勢(shì)。兩者同時(shí)具備的，最典型的就是那些在歷史上閃耀著光芒的大師們、天才們，譬如：牛頓、愛(ài)因斯坦、莫扎特等等。
需要?jiǎng)?chuàng)造能力或創(chuàng)新能力的，往往集中于化學(xué)、生命科學(xué)等領(lǐng)域，而需要邏輯能力或認(rèn)知能力的，則往往集中于數(shù)學(xué)、物理等領(lǐng)域。我在離開(kāi)學(xué)術(shù)職業(yè)之后，曾經(jīng)認(rèn)真反思過(guò)自己的過(guò)往和資質(zhì)，很明確的覺(jué)得自己在后一種特質(zhì)上略微有那么一點(diǎn)點(diǎn)天資，而在創(chuàng)造能力和創(chuàng)新能力方面則完全屬于level很低的那種了。事實(shí)上，這么多年以來(lái)就從來(lái)沒(méi)中斷過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)(當(dāng)然了，早已不具備真正學(xué)術(shù)的條件啦)。在對(duì)更多的認(rèn)知過(guò)程中，其實(shí)歸根到底都可以收斂到數(shù)學(xué)的思維，作者在這本書(shū)中繁舉了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的諸多分支，其核心精神也是為了說(shuō)明抽象認(rèn)知的精髓性，同時(shí)抽象認(rèn)知也是數(shù)學(xué)思維的最根本所在。
值得一提的是，讓我特別感到驚奇(以前沒(méi)有從這個(gè)角度思考過(guò))的是：作者提到數(shù)學(xué)的本質(zhì)思維其實(shí)全部源自于我們平常生活認(rèn)知中最基礎(chǔ)的邏輯，并沒(méi)有什么神秘之處，這最基礎(chǔ)的邏輯很難表達(dá)，但總之就是譬如“班上50個(gè)人全部都是兩只眼睛的，所以其中一位同學(xué)也是兩只眼睛的”這種。作者在書(shū)中用了略微專業(yè)(確實(shí)需要一定的理科基礎(chǔ))的語(yǔ)言向我們展現(xiàn)了多么復(fù)雜的無(wú)理數(shù)、無(wú)窮數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程，但是他用的數(shù)學(xué)邏輯，恰恰就是剛才提到的最最基本的邏輯。所以，這給了我一個(gè)特別奇妙的體驗(yàn)，那就是：在被作者帶著一步一步思考與推導(dǎo)的時(shí)候，從開(kāi)始到進(jìn)程中，都覺(jué)得特別的輕松自然，但結(jié)束之后回頭一看，原來(lái)是如此神奇!
數(shù)學(xué)之美的讀書(shū)筆記中學(xué)生必看5
在語(yǔ)音識(shí)別、翻譯，還有密碼學(xué)領(lǐng)域，有著許多基于概率統(tǒng)計(jì)的模型和思想。當(dāng)然，貝葉斯公式是基礎(chǔ)，應(yīng)用到隱含馬爾科夫鏈模型，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。
在搜索中，一些相關(guān)性的計(jì)算，無(wú)不用到了概率的知識(shí)。在新聞分類中，用到了一些有關(guān)矩陣特征值、相似對(duì)角化的知識(shí)。當(dāng)然，在圖像處理方面，矩陣變換可謂是無(wú)處不在。另外，在識(shí)別方面，有一些通信模型，涉及到了信道、誤碼率、信息熵。
最近剛開(kāi)學(xué)也沒(méi)什么事，所以就想隨便找?guī)妆緯?shū)看一下，但別是那種太艱深晦澀的書(shū)。8月份一直到現(xiàn)在，吳軍寫(xiě)的這本12年5月出版的《數(shù)學(xué)之美》一直盤踞京東、亞馬遜等各大網(wǎng)上商城科技類圖書(shū)的榜首，當(dāng)然，還有早些時(shí)候出版的《浪潮之巔》也排在很靠前的位置。心想市場(chǎng)的力量應(yīng)該能幫我挑出好書(shū)吧，于是就從圖書(shū)館借了一本來(lái)，一直到今天晚上把它給看完了。
因此想寫(xiě)一點(diǎn)東西來(lái)總結(jié)、反思一下，反正剛開(kāi)完班會(huì)也沒(méi)什么事干。
寫(xiě)在前面的建議：如果你不討厭數(shù)學(xué)的話，強(qiáng)烈推薦這本書(shū)，網(wǎng)上也可以下到電子版，不過(guò)閱讀感覺(jué)上還是很不一樣的。
廢話就不多說(shuō)了，《數(shù)學(xué)之美》其實(shí)是一本科普類的讀物，所面向的是接受過(guò)普通高等教育的人，完全不需要在特定領(lǐng)域有很深的造詣就可以看懂，大概懂一點(diǎn)線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、組合數(shù)學(xué)、信息論、計(jì)算機(jī)算法、模式識(shí)別(雖然列舉了這么多，其實(shí)有些不懂也沒(méi)關(guān)系……)，所以尤其適合信科的人看。內(nèi)容大部分是和人工智能、計(jì)算機(jī)相關(guān)的，這并非我所學(xué)的專業(yè)，但作者比較擅長(zhǎng)將看似復(fù)雜的原理用簡(jiǎn)明的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，所以可讀性還是很好的。
吳軍是清華大學(xué)畢業(yè)的，之前任職于Google，后來(lái)到了騰訊，這些文章都是發(fā)表在Google黑板報(bào)上的，后來(lái)經(jīng)過(guò)了重寫(xiě)，所以網(wǎng)上下載的和書(shū)本內(nèi)容有所差異。由于吳軍本人是研究自然語(yǔ)言處理和語(yǔ)音識(shí)別的，所以統(tǒng)計(jì)語(yǔ)言模型的東西可能會(huì)多一點(diǎn)，不過(guò)我覺(jué)得這絲毫不妨礙全書(shū)數(shù)學(xué)之美的展現(xiàn)……感覺(jué)收獲還是挺多的，知識(shí)上的有一些，但更多還是思維方式上的。作者舉了很多例子試圖讓人明白很多看似復(fù)雜的高科技背后，基本原理其實(shí)是出乎意料簡(jiǎn)單的(當(dāng)然，必須承認(rèn)第一個(gè)想到這些方法的人還是非常了不起的……)。比如高準(zhǔn)確率的機(jī)器翻譯，看上去好像是計(jì)算機(jī)能夠理解各國(guó)語(yǔ)言，隱藏在背后的卻是很多具有大學(xué)理科學(xué)歷的人都非常清楚的統(tǒng)計(jì)模型和概率模型;再比如拼音輸入法的數(shù)學(xué)原理，早期的研究主要集中在縮短平均編碼長(zhǎng)度，比如曾經(jīng)流行一時(shí)的五筆輸入法，而現(xiàn)今真正實(shí)用的輸入法卻是有很多信息冗余、編碼長(zhǎng)度比較長(zhǎng)的拼音輸入法，作者從信息論和市場(chǎng)的角度做了簡(jiǎn)單的闡述;又比如新聞的自動(dòng)分類，許多非IT領(lǐng)域的人可能會(huì)認(rèn)為計(jì)算機(jī)可以讀懂新聞并進(jìn)行分類，而實(shí)際上只是特征向量的抽取、空間中向量夾角的計(jì)算，非常非常簡(jiǎn)單，但凡學(xué)過(guò)一點(diǎn)線性代數(shù)的人絕對(duì)是一看就懂的……當(dāng)然，完美的實(shí)現(xiàn)還需要考慮很多細(xì)節(jié)和現(xiàn)實(shí)的情況，但這并不是這本書(shū)所關(guān)注的地方，數(shù)學(xué)之美在于其簡(jiǎn)潔而不是繁瑣。
除了對(duì)于具體信息技術(shù)的剖析之外，作者還花了很大篇幅來(lái)講一些杰出人士的成長(zhǎng)過(guò)程，特別是把這些人的成長(zhǎng)經(jīng)歷和中國(guó)學(xué)生的成長(zhǎng)經(jīng)歷作對(duì)比。雖然作者并沒(méi)有明說(shuō)，但字里行間多少流露出對(duì)于中國(guó)高等教育以及很多中國(guó)企業(yè)的批評(píng)，一是教育的功利性，缺乏寬松的獨(dú)立思考的環(huán)境，即使學(xué)了一堆理論也難有用武之地，自然也就缺乏創(chuàng)新性的成果;二是中國(guó)企業(yè)的短視，大部分都不舍得在新框架開(kāi)發(fā)上投資，而是坐享學(xué)術(shù)界和國(guó)外企業(yè)的研究成果。
總結(jié)一下呢，能夠從更宏觀的角度來(lái)思考信息世界背后的數(shù)學(xué)引擎的運(yùn)行原理，讓人明白看似很高級(jí)、復(fù)雜的東西背后其實(shí)并不如我們所想象的那樣復(fù)雜，而我們所學(xué)的“枯燥”的數(shù)學(xué)真的可以“四兩撥千斤”，改變億萬(wàn)人的生活。
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